Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

a) Định nghĩa

- Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

- Khi đường tròn `(O)` ngoại tiếp tam giác `ABC`, ta còn nói tam giác `ABC` nội tiếp đường tròn `(O)`.

b) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng khoảng cách từ giao điểm ba dường trung trực đến mỗi đỉnh của tam giác đó.

- Nhận xét:

+ Vì ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm hai đường trung trực bất kì của tam giác đó.

+ Mỗi tam giác có đúng một đường tròn ngoại tiếp.

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó.

- Ví dụ: Cho tam giác vuông tại `A` có `AB = 6a`, `AC = 8a`. Tính bán kính `R` của đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC` theo `a`.

Giải

Xét tam giác `ABC` vuông tại `A` có: `BC^2=AB^2+AC^2` (định lí Pythagore)

Do đó `BC= sqrt (AB^2+AC^2)`

`= sqrt ((6a)^2+(8a)^2)`

`=10a`

Vì tam giác `ABC` vuông tại `A` nên bán kính `R` của đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC` bằng nửa cạnh huyền `BC`. Vậy `R = 5a`.

- Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

- Tam giác đều cạnh `a` có bán kính đường tròn ngoại tiếp là `R=(a sqrt 3)/3`.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

a) Định nghĩa

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó.

- Khi đường tròn `(I)` nội tiếp tam giác `ABC`, ta còn nói tam giác `ABC` ngoại tiếp đường tròn `(I)`.

b) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đó.

- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh của tam giác đó.

- Nhận xét:

+ Vì ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm hai đường phân giác bất kì của tam giác đó.

+ Mỗi tam giác có đúng một đường tròn nội tiếp.

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó.

- Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó.

- Tam giác đều cạnh `a` có bán kính đường tròn nội tiếp là `R=(a sqrt 3)/6`.

- Ví dụ: Một mảnh vườn có dạng tam giác đều `MNP` cạnh `12m`. Người ta muốn trồng rau ở phần đất bên trong đường tròn nội tiếp tam giác `MNP`. Tính diện tích phần đất trồng hoa đó.

Giải

Gọi `(I; r)` là đường tròn nội tiếp tam giác đều `MNP`.

Suy ra bán kính của phần đất trồng rau là: `r=12. sqrt 3/6=2 sqrt 3` `(m)`

Diện tích phần đất trồng rau là: `S= pi r^2= pi(2 sqrt 3)^2=12 pi` `(m^2)`.