Khi giải các bài tập về phân số, ta thường gặp một số bài toán có các phân số mà tử số, hoặc mẫu số, hoặc cả tử và mẫu chưa biết rõ giá trị. Các phân số này gọi chung là các phân số có giá trị không xác định.

Liên quan đến các phân số trên, ta thường gặp một số dạng bài như sau:

`1.` Dạng `1`: Bài toán về phân số có giá trị nguyên

Ví dụ `1`: Cho phân số `A= (n+3)/(n-2)` `(n ∈ZZ )`. Tìm `n` để phân số `A` có giá trị nguyên.

Giải:

`-` Cách `1`:  Đưa về điều kiện tử số `⋮` mẫu số

Để `A= (n+3)/(n-2)` có giá trị nguyên thì `n + 3 ⋮ n - 2=> n - 2 + 5  ⋮  n - 2 =>  5 ⋮  n - 2` 

`=> n - 2 ∈ {± 1; ± 5}`

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy `n ∈ {3; 1; 7; -3}`.

`-` Cách `2`: Tách phân số

Đối với cách này, từ phân số ban đầu ta sẽ tách về thành phần nguyên và phần phân số bằng cách làm cho mẫu số xuất hiện trên tử số.

Ta thấy phân số ban đầu có tử là `n + 3`, mẫu là `n - 2`

Do đó ta sẽ tách tử thành: `n + 3 = n - 2 + 5`

Khi đó: `A= (n+3)/(n-2) = (n-2+5)/(n-2) =(n-2)/(n-2) + 5/(n-2) = 1 + 5/(n-2)`

Để `A` là số nguyên thì `5/(n-2)` là số nguyên `=>  5 ⋮  n - 2 =>  n - 2 ∈ {± 1; ± 5}`

Đến đây ta lập bảng và tính như ở cách `1`.

`**` Giả sử câu hỏi đổi thành: Tìm `n in ZZ` để phân số `A= (n+3)/(n-2)` có giá trị nguyên âm/ nguyên dương ?

Nếu gặp dạng câu hỏi như trên, thì sau khi chỉ ra `n - 2 ∈ {± 1; ± 5}` ta có bảng giá trị sau:

Vậy để `A` nguyên dương thì `n ∈ {3; 7}`; để `A` nguyên âm thì `n = 1`.

Ví dụ `2`: Cho phân số `B= (2n-3)/(n+4)` `(n ∈ZZ )`. Tìm `n` để phân số có giá trị nguyên.

Giải

Ta có: `B= (2n-3)/(n+4) = (2(n+4)-11)/(n+4) = (2(n+4))/(n+4) - 11/(n+4) =2 - 11/(n+4) `

Để `B=2 - 11/(n+4) ` là số nguyên thì `11/(n+4) ` là số nguyên `=> 11 ⋮ n + 4 => n + 4 ∈ {± 1; ± 11}`

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy `n ∈ {- 3; - 5; 7; - 15}`.

Ví dụ `3`: Cho phân số `C=(5n+1)/(3-2n)` `(n ∈ZZ )`. Tìm `n` để phân số có giá trị nguyên.

Giải

Để `C=(5n+1)/(3-2n)` là số nguyên thì `5n + 1 ⋮  3 – 2n`

Ta có: `{(5n+1 ⋮ 3-2n),( 3-2n ⋮ 3-2n):}=>{(2.(5n+1) ⋮ 3-2n),(5.( 3-2n) ⋮ 3-2n):}=>{(10n+2  ⋮ 3-2n),(15-10n  ⋮ 3-2n):}`

`=> 10n+2+15-10n  ⋮ 3-2n=> 17 ⋮ 3-2n`

`=> 3 - 2n  ∈ { ±1; ± 17}`

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy `n ∈ {1; 2; - 7; 5}`.

`2.` Dạng `2`: Bài toán về giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của phân số

Ví dụ `1`: Cho phân số `A=(3n+1)/(2n+1)` `(n ∈ZZ )`.

Tìm `n` để phân số có giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất.

Giải

`**` Tìm giá trị lớn nhất:

Để  `A=(3n+1)/(2n+1)` có giá trị lớn nhất thì `n – 2` phải là số nguyên dương nhỏ nhất `=> n - 2 = 1 => n = 3`

Khi đó GTLN của phân số tại `n = 3` là: `A= 3/(3-2) =3`. 

`**` Tìm giá trị nhỏ nhất:

Để `A=(3n+1)/(2n+1)` có giá trị nhỏ nhất thì `n - 2` phải là số nguyên âm lớn nhất `=> n - 2 = - 1 => n = 1`

Khi đó GTNN của phân số tại `n = 1` là: `A= 3/(1-2) = -3`.

 Ví dụ `2`: Cho phân số `B=(3n+7)/(n-3)` `(n ∈ZZ )`.

Tìm `n` để phân số có giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất.

Giải

Ta có: `B=(3n+7)/(n-3) = (3.(n-3)+16)/(n-3) = 3+ 16/(n-3)`

`**` Để phân số `B` có giá trị lớn nhất thì `16/(n-3)` phải có giá trị lớn nhất

`=> n - 3` phải là số nguyên dương nhỏ nhất `=> n - 3 = 1 => n = 4`

Khi đó GTLN của `B` tại `n = 4` là: `B=3+ 16/(4-3) = 3+16 =19`.

`**` Để phân số `B` có giá trị nhỏ nhất thì `16/(n-3)` phải có giá trị nhỏ nhất

 `=>n - 3` phải là số nguyên âm lớn nhất `=>  n - 3 = - 1 => n = 2`

Khi đó GTNN của `B` tại `n = 2` là: `B=3+ 16/(2-3) =3-16=-13`.

Ví dụ `3`: Cho phân số `M=(5n-7)/(2n-1)` `(n ∈ ZZ)`.

Tìm `n` để phân số `M` có giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất.

Giải

Ta có: `2.M = (2.(5n-7))/(2n-1) = (10n-14)/(2n-1) = (5.(2n-1)-9)/(2n-1) =5- 9/(2n-1)`

* Để `M` có giá trị lớn nhất thì `2M` lớn nhất `=>9/(2n-1)` phải có giá trị nhỏ nhất

`=>2n - 1` phải là số nguyên âm lớn nhất `=>2n - 1 = - 1 =>  n = 0`

Khi đó GTLN của `M` tại `n = 0` là: `M=(5.0-7)/(2.0-1) = (-7)/(-1) =7`.

`**` Để `M` có giá trị nhỏ nhất thì `2M` nhỏ nhất `=>9/(2n-1)` phải có giá trị lớn nhất

 `=>2n - 1` phải là số nguyên dương nhỏ nhất `=>2n - 1 = 1=> n = 1`

Khi đó GTLN của `M` tại `n = 1` là: `M=(5.1-7)/(2.1-1) =(-2)/1 =-2`.

Chú ý:

Ở ví dụ trên, một số bạn thường hay mắc phải sai lầm khi làm như sau:

Để `M=(5n-7)/(2n-1)` có giá trị lớn nhất thì `2n - 1` là số nguyên dương nhỏ nhất

`=>2n - 1 = 1 => …..`

Để `M=(5n-7)/(2n-1)` có giá trị nhỏ nhất thì `2n - 1` là số nguyên âm lớn nhất

`=> 2n - 1 = - 1 => …..`

Cách đánh giá trên là chưa chính xác. Ta không được đánh giá gì về giá trị của mẫu số khi chưa biết chắc chắn giá trị của tử số.

`3.` Dạng `3`: Bài toán về phân số tối giản và rút gọn được

Ví dụ `1`: Cho phân số `A= (3n+1)/(2n+1)` `(n ∈ ZZ )`.

Chứng minh `A` là phân số tối giản với mọi số nguyên `n`.

Giải

Gọi `d` là ước chung của `3n+1` và `2n+1`

Ta có: `{(3n+1  ⋮  d),(2n+1  ⋮  d):}=>{(2.(3n+1)  ⋮  d),(3.(2n+1)  ⋮  d):}=>{(6n+2 ⋮  d),(6n+3 ⋮  d):}`

`=>(6n+3)-(6n+2) ⋮  d=>1 ⋮  d =>d in {1; -1}`

Vậy `A` là phân số tối giản.

Ví dụ `2`: Cho phân số `B=(3n-1)/(n+2)` `(n ∈ZZ )`. Tìm `n` để `B` là phân số tối giản.

Giải

Gọi `d` là ước chung của `3n-1` và `n+2`

Ta có: `{(3n-1  ⋮  d),(n+2  ⋮  d):}=>{(3n-1  ⋮  d),(3.(n+2)  ⋮  d):}=>{(3n-1 ⋮  d),(3n+6 ⋮  d):}`

   `=>(3n+6)-(3n-1) ⋮  d=> ⋮  d =>d in {+- 1; +- 7}`

Nếu `B` là phân số tối giản thì `d` phải khác `7` và `-7`

Tức là `n+2` không chia hết cho `7`

`=>n ne 7k+5` `(k in ZZ)`.

Vậy để `B` là phân số tối giản thì `n ne 7k+5`.

Nếu câu hỏi ở VD `2` đổi thành: Cho phân số `B=(3n-1)/(n+2)` `(n ∈ZZ )`.

Tìm `n` để phân số `B` rút gọn được.

Giải

 Trình bày tương tự đến bước `d in {(+- 1; +- 7}`

 Nếu `B` rút gọn được thì `d=7` hoặc `d=-7`

`=> n+2  ⋮ 7=>n` chia `7` dư `5=> n=7k+5` `(k in ZZ)`

Một số bài tập tự luyện:

DẠNG `1`: BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN

Bài `1`: Cho phân số `A=(n-1)/(n+2)` `(n in ZZ)`. Tìm `n` để phân số `A` có giá trị nguyên.

Bài `2`: Cho phân số `B=(2n-1)/(n+3)` `(n in ZZ)`. Tìm `n` để phân số `B` có giá trị nguyên dương.

Bài `3`: Cho phân số `C= (3n+7)/(2n-5)` `(n in ZZ)`. Tìm `n` để phân số `C` có giá trị nguyên âm.

DẠNG `2`: BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN SỐ

Bài `4`: Cho phân số `A=(n+1)/(n-2)` `(n in ZZ)`. Tìm n để phân số `A` có giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Bài 5: Cho phân số `B=(2n+1)/(n-3)` `(n in ZZ)`. Tìm `n` để phân số `B` có giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Bài 6: Cho phân số  `C= (3n+8)/(2n-1)` `(n in ZZ)`. Tìm `n` để phân số `B` có giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

DẠNG `3`: BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN VÀ RÚT GỌN ĐƯỢC

Bài `7`: Cho phân số `A=(2n+3)/(3n+4)` `(n in ZZ)`.

Chứng minh `A` là phân số tối giản với mọi số nguyên `n`.

Bài `8`: Cho phân số `B=(2n+1)/(n-3)` `(n in ZZ)`

`a)` Tìm `n` để `B` là phân số tối giản.

`b)` Tìm `n` để phân số `B` rút gọn được.

Các bạn học sinh có thể xem đáp án các bài tập tự luyện tại đây nhé:

https://www.onthi123.vn/toan-6-chuyen-de-cac-bai-toan-ve-phan-so-co-gia-tri-khong-xac-dinh