Phương pháp tính ngược từ cuối – Giải toán tiểu học

Có một số bài toán mà ta có thể tìm số chưa biết bằng cách thực hiện liên tiếp các phép tính đã cho trong bài toán. Khi giải bài toán theo phương pháp này thì kết quả của một phép tính sẽ trở thành một phần đã biết trong phép tính liền sau đó, cứ tiếp tục như thế cho đến khi tìm được số phải tìm. Ta nói rằng bài toán được giải theo phương pháp tính ngược từ cuối.

Ví dụ 1: Tìm một số biết rằng số đó lần lượt cộng với 1 rồi nhân với 2, được bao nhiêu đem chia cho 3 rồi trừ đi 4 thì được 5.

Giải:

Trước khi trừ 4, ta có:

          5 + 4 = 9

Trước khi chia cho 3, ta có:

         9 x 3 = 27

Trước khi cộng 1, ta có:

        27 : 2 = 13,5

Vậy số phải tìm là:

      13,5 – 1 = 12,5

Đáp số: 12,5

Ví dụ 2: Một người bán cam, lần thứ nhất người đó bán `1/2` số cam và 1 quả. Lần thứ hai người đó bán `1/2` số cam còn lại và thêm 1 quả. Lần thứ ba người đó bán `1/2` số cam còn lại và 1 quả. Cuối cùng còn lại 10 quả. Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu quả cam?

Phân tích: Ta có thể hiểu bào toán này như sau: Tìm một số biết rằng lần lượt lấy số đó chia cho 2 rồi trừ đi 1, được bao nhiêu lại chia cho 2 rồi trừ đi 1, cuối cùng lại chia cho 2 rồi trừ đi 1 thì còn lại 1 quả.

Giải:

Ta có sơ đồ:

`1/2` số cam còn lại sau lần bán thứ hai là:

              10 + 1 = 11 (quả)

Do đó số cam còn lại sau lần bán thứ hai là:

              11 x 2 = 22 (quả)

`1/2` số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là:

              22 + 1 = 23 (quả)

Do đó số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là:

             23 x 2 = 46 (quả)

`1/2` số cam lúc chưa bán là:

             46 + 1 = 47 (quả)

Do đó tổng số cam là:

              47 x 2 = 94 (quả)

Đáp số: 94 quả

Ví dụ 3: Lớp 5A tham gia học may, ngày thứ nhất có `1/6` số học sinh của lớp và 2 em tham gia, ngày thứ 2 có `1/4` số em còn lại và 1 em tham gia, ngày thứ ba có `2/5` số còn lại sau 2 ngày và 3 em tham gia. Ngày thứ tư có `2/5` số còn lại sau 2 ngày và 1 em tham gia. Cuối cùng còn lại 5 em chưa tham gia. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh?

Giải:

Ta có sơ đồ:

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ ba là:

                  (5 + 1) : 3 x 5 = 10 (em) 

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ hai là:

                 (10 + 2) : 3 x 5 = 20 (em)  

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ nhất là:

                 (20 + 1) : 3 x 4 = 28 (em) 

Số em học sinh ban đầu là:

                 (28 + 2) : 5 x 6 = 36 (em) 

Đáp số: 36 em

Ví dụ 4: Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: “Đàn vịt của ông có bao nhiêu con?” và được trả lời như sau:

• Một nửa số vịt của tôi cộng thêm một nửa con nữa đang tắm mát dưới sống.
• Ba phần tư số vịt còn lại cộng thêm 1/4 con nữa đang kiếm ăn ở dưới hồ.
• Bốn phần năm số vịt còn lại, thêm 1/5 con nữa đang nằm nghỉ ở trên bờ.
• Còn 5 con vịt què của tôi đang nhốt trong lồng kia.

Hỏi đàn vịt của ông lão có bao nhiêu con? 

Giải:

Ta có sơ đồ:

Số con vịt còn lại sau khi một số vịt bơi dưới sông dưới hồ là:

                   `(1/5 + 5) xx 5 = 26` (con)

Số con vịt còn lại sau khi một số vịt bơi dưới sông dưới hồ là:

                  `(26 + 1/4) xx 4 = 105` (con)

Số con vịt ban đầu là:

                   `(105 + 1/2) xx 2 = 211` (con)

Đáp số: 211 con

Bài tập tự luyện:

Bài 1. Cho ba số có tổng bằng 45. Nếu chuyển 3 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ hai và chuyển 2 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ nhất thì được ba kết quả bằng nhau. Hãy tìm ba số đã cho.

Bài 2. Có 3 kho gạo với tổng số gạo là 210 tấn. Nếu chuyển 20 tấn gạo từ kho A sang kho B, rồi chuyển 50 tấn gạo từ kho B sang kho C thì số gạo ở kho C sẽ gấp đôi số gạo ở kho B, số gạo ở kho B sẽ gấp đôi số gạo ở kho A. Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

Bài 3. Kiên và Hiển cùng chơi như sau: Nếu Kiên chuyển cho Hiển một số bi đúng bằng số bi mà Hiển đang có, rồi Hiển lại chuyển cho Kiên một số bi đúng bằng số bi còn lại của Kiên thì cuối cùng Hiển có 35 viên bi và Kiên có 30 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

Bài 4. Có ba đội Thiếu niên A, B, C với tổng số đội viên khoảng 40 đến 50 bạn. Để chuẩn bị tham gia lao động, nhà trường dự định chia số đội viên bằng số đội viên đang có của đội B, rồi chuyển từ đội B sang đội C một số đội viên bằng số đội viên của đội C. Cuối cùng chuyển từ đội C sang đội A một số đội viên bằng số đội viên còn lại của đội A. Sau ba lần chuyển như vậy thì số đội viên ở ba đội sẽ bằng nhau. Hãy tính số đội viên ở mỗi đội Thiếu niên lúc chưa chuyển.

Bài 5. Nhà bạn Hải nuôi được một số th. Đợt một bán đi một phần ba số thỏ, đợt hai bán đi một phần ba số thỏ còn lại, đợt ba bán đi một phần ba số thỏ còn lại sau 2 đợt, cuối cùng còn lại 8 con thỏ. Hỏi nhà bạn Hải nuôi được bao nhiêu con thỏ?

Bài 6. (Toán cổ) Người qua đường hỏi một cụ già đang cưỡi ngựa: “Làm sao mà trông cụ buồn phiền vậy?”. Cụ già đáp lại: “ Làm sao mà chẳng buồn phiền? Một nửa đàn ngựa của tôi và thêm một con nữa bị lạc xuống phía Nam, một nửa số ngựa còn lại sau hai lần đó và thêm một nửa con nữa chạy qua phía Tây,một nửa con ngựa còn lại cuối cùng và thêm một nửa con nữa tôi đã đem bán ở phía Bắc. Bây giờ tôi chỉ còn lại một con ngựa mà tôi đang cưỡi đây”. Hãy tính xem lúc đầu cụ già có tất cả bao nhiêu con ngựa?

Bài 7. (Toán cổ) Một tên tham lam gặp con quỷ ở cạnh chiếc cầu. Tên này than phiền với con quỷ về nỗi nghèo khổ của mình. Con quỷ nói rằng “Tôi có thể giúp anh. Cứ mỗi lần anh đi qua cầu thì số tiền của anh sẽ được tăng gấp đôi, nhưng ngay sau đó anh phải trả lại cho tôi 24 xu. Bằng lòng chứ?” Tên tham lam bằng lòng như thế. Sau khi hắn đi qua cầu lần thứ ba thì thấy trong túi của mình không còn một xu nào. Hỏi lúc đầu tên tham lam có bao nhiêu tiền?

Các em học sinh có thể tham khảo lời giải các bài toán trên và luyện tập để củng cố thêm về phương pháp "Tính ngược từ cuối" tại Các bài toán tính ngược từ cuối